カスタム投稿の場合、通常の投稿ページとは違いターム（カテゴリー）を選択せずに公開すると未選択のまま公開されます。
なので今回はターム未選択でカスタム投稿記事を公開した時に特定のタームを自動で選択させる方法です。

function.php

// タクソノミー名を「sample_category」・タームIDを「1」とした場合
// タクソノミー名とタームID（$defaultTerm= array(1);の部分）は任意の値へ変更する
function add_sample_category_automatically($post_ID) {
  global $wpdb;
  $curTerm = wp_get_object_terms($post_ID, 'sample_category');
  if (0 == count($curTerm)) {
    $defaultTerm= array(1);
    wp_set_object_terms($post_ID, $defaultTerm, 'sample_category');
  }
}
add_action('publish_sample', 'add_sample_category_automatically');